CONCEPTO.-
Una teoría matemática es una representación, en términos matemáticos, de proposiciones que describen el comportamiento actual dentro de unsistema. Esto se da en un intento por describir el sistema real; claramente el intento está sujeto a examen y una teoría es aceptable o no de acuerdo con cuán bien sobrepasa el examen correspondiente.
Después de la segunda guerra mundial, a través de la teoría matemática se aplicó la investigación operacional, para la resolución de problemas grandes y complejos con muchas variables.
La teoría matemática de sistema se relaciona con los conceptos de información y entropía de la información, sistemas de comunicación, transmisión dedatos, así como la teoría de la distorsión de la transferencia, criptografía, relaciones señal- ruido, control, compresión de datos y temas relacionados.
El estudio de las matemáticas como disciplina independiente ha permitido que ésta avance a una velocidad sin precendente, pero un desarrollo de esta índole plantea interrogantes inquietantes, por ejemplo: ¿cuál es la naturaleza de la matemática?, ¿cuál es su objetivo?, ¿cuáles son sus métodos?, etcétera.
Investigación de Operaciones.
Durante una época el cálculo convencional y métodos sencillos fueron suficientes para resolver los problemas que se presentaban. Pero cuando la industrialización trajo consigo la producción en masa y con ello el crecimiento en el tamaño y en la diversidad de los problemas a resolver, hubo que crear técnicas más sofisticadas. Fue durante la segunda guerra mundial (de ahí el nombre de Investigación de Operaciones militares) que dio inicio unarevolución, la cual aún continua, en el desarrollo de las técnicas matemáticas de carácter algorítmico-numéricas, para la solución de este tipo de problemas. Con la invención y la evolución de la computadora, es ahora posible resolver complejos problemas de optimización, de logística, o simular múltiples escenarios para un proceso, en períodos de tiempo que hace sólo algunas décadas hubieran sido inconcebibles. Dentro de las técnicas más usadas en la investigación de operaciones se puede citar a la optimización clásica, la programación lineal y no lineal, la teoría de control óptimo, lasimulación, las técnicas heurísticas y la teoría de redes entre otras.
Últimamente ha tomado auge una nueva especialidad. La Matemática Educativa, que ofrece un enfoque, desde el punto de vista de las teorías delconocimiento, para la aplicación de técnicas didácticas en la enseñanza de las matemáticas, facilitando así su comprensión.
Para comprender más el tema trataremos temas relacionados con:
- La teoría matemática de la información
- La teoria matemática del control
LA TEORÍA MATEMÁTICA DE LA INFORMACIÓN
Es de aceptación general que la disciplina de la teoría de la información comenzó con la publicación del artículo de Claude E. Shannon "La Teoría Matemática de la Comunicación" (The Mathematical Theory of Communication).
Claude E. Shannon es conocido como el padre de la teoría de la información. Su teoría considera la transmisión de la información como un fenómeno estadístico y ofrece a los ingenieros en comunicaciones una forma de determinar la capacidad de un canal de comunicación en términos comunes de medida llamados bits.
La parte de la teoría que hace referencia a la transmisión no está relacionada con el contenido de información o el mensaje en sí mismo, aún cuando el lado complementario de la teoría de la información se preocupa con el contenido a través de la compresión con pérdida de los mensajes sujetos a uncriterio de fidelidad. Estas dos ramas de la teoría de la información están unidas y justificadas mutuamente por los teoremas de transmisión de información, o los teoremas de separación de canal de origen que justifican el uso de bits como el formato universal de información en diversos contextos.
En la teoría de Shannon y Weaver la cantidad de información contenida en un mensaje se define en función de la frecuencia relativa de utilización de los diferentes símbolos que lo componen:
a.- Los mensajes son transmitidos desde la fuente al usuario por una vía de comunicación,
b.- para que el mensaje pueda recorrer esa vía debe ser codificado,
c.- y luego, descodificado para que lo comprenda convenientemente el destinatario.
El problema está en la transición de los símbolos del mensaje que entró a los del mensaje que salió. Esta posibilidad de imperfección se llama ruido. Sin ruido, la canti dad de información de un mensaje es la misma a la salida que a la entrada. Con ruido nacen la ambigüedad y los equívocos. Para evitarlos habrá que transmitir el mensaje con redundancia, aunque esto suponga una pérdida relativa de información. La principal objeción que desde el primer momento presentó su Teoría matemática de la Comunicación fue la de no considerar los aspectos relativos al significado de los mensajes, por lo que debemos considerar el cuerpo especulativo al que abrieron paso como una teoría de señales, no como una auténtica teoría de la información.
Aún manteniendo una postura de equilibrada duda al contemplar que las aplicaciones hechas con efectividad se habían limitado a fenómenos particulares, Jean-Bernard Mari -no analizó la posibilidad de nuevas aplicaciones de cada una de ellas, principalmente a través de las bases de datosaccesibles. Distribuyó en tres bloques las aplicaciones de la teoría matemática:
1. Indización mediante tarjetas perforadas: en la década de 1950 Garfield indizó documentos biomédicos mediante tarjetas perforadas. Los codificó de tal manera que el número de perforaciones coincidía con la frecuencia de uso de los descriptores en el total del glosario. Los descriptores más utilizados recibían así la codificación más breve.
2. Evaluación de los resultados de un sistema documental : se trata de desligar el sistema de salida del sistema de entrada, transmitiendo por una vía con ruido. Los mensajes recibidos tenían una triple codificación y su probabilidad de ser recuperados dependía de una tabla de contingencias. Fue utilizado por Meetham, Belzer, Cawkel y Guazzo.
3. Indización por frases: Briner aplicó los conceptos de la teoría matemática a los components gramaticales de un texto escrito, deduciendo una capacidad de transmission del conocimiento por palabra análoga a la fórmula que cuantifica la capacidad de una vía. Para las palabras ambiguas Briner amplió el principio a indización de la frase entera que las contenía.
LA TEORIA MATEMÁTICA DEL CONTROL
En la Teoría Matemática del Control, comenzaremos con algunas consideraciones históricas generales sobre sus orígenes y evolución. Más adelante, describimos algunos elementos centrales de la Teoría y diversos avances recientesque se caracterizan tanto por su interées Matemático como por su transcendencia desde un punto de vista social, tecnológico e industrial. Por ´ultimo mencionamos algunos problemas abiertos y los retos que se plantean en esta disciplina para un futuro inmediato.
La esencia de la Teoría del Control está inspirada en algunas nociones que a todos nos resultan familiares. Una de ellas es la de "feedback". Este término se incorporó a lo que hoy conocemos como Teoría del Control en los años 20 por los ingenieros del "BellTelephone Laboratory".La traduccióndel término "feedback" al castellano produce palabras mucho más largas tales como "realimentación" o "retroalimentación".
La Naturaleza nos ofrece ejemplos difíciles de mejorar en este terreno. Basta simplemente observar el ritual del depredador que acecha a su presa. Hoy en día la noción de feedback es también común en Biología, Psicología, etc. El principio de causa-efecto ha dejado de entenderse como un fenómeno estático y se aborda ahora desde una perspectiva dinámica a causa de los mecanismos de "feedback". Estamos frente al principio causa-efecto-causa.
Otra de las nociones que subyace en todo lo que hoy puede considerarse parte del ámbito de la Teoría del Control es la de "optimización". La optimización es una técnica que tiene como objetivo aumentar o mejorar el valor de una variable que, en la práctica, puede tomar las formas más variadas: temperatura, flujo de aire, velocidad, rentabilidad, beneficio, información, capacidad de destrucción, etc.
Las técnicas de optimización son tan variadas que resulta imposible hacer una presentación global y unificada de todas ellas. Por otra parte, latecnología informática y de la computación han jugado un papel crítico en las aplicaciones de las técnicas de optimización, tal y como ocurre en el control óptimo de cohetes y proyectiles. En efecto, en vista de la complejidad de los sistemas a los que la Teoría del Control ha de hacer en laactualidad, es imposible realizar una implementación eficiente los métodos de control, sin previamente realizar un riguroso trabajo de simulación numérica.
Dentro del amplio abanico de teorías, técnicas y problemas que podemos enmarcar en el contexto de la optimización cabe mencionar la teoría dejuegos, la programación lineal y nolineal, la teoría del control, etc.
Hemos ya mencionado las dos grandes ideas que han servido de inspiración y de motor a la Teoría del Control: el mecanismo de feedback y la optimización.
Otro de los términos ligados a la Teoría matemática del Control y de la Optimización es el de "cibernética", propuesto por el físico francés A.M Ampére en el siglo XIX en su clasificación de las Ciencias para referirse a la aún no existente ciencia del control de los procesos. Este término fue rápidamente olvidado hasta que en 1948 el matemático americano Norbert Wiener lo adoptó como título de su libro. Wiener definió la cibernéticacomo "la ciencia del control y de la comunicación en animales y máquinas". Esta definición relaciona la cibernética con la Teoría del Control y laFisiología del sistema nervioso.
El "sueño" de Wiener estaba basado en la idea de que surgiría una creciente sinergia entre el ser humano y la máquina que abarcaría tanto la Matemática como la Psicología: La máquina al servicio del ser humano, imitando al ser humano. Hace unas décadas todo esto no dejaba de parecer un sueño ingenuo. Sin embargo, hoy la situación es completamente distinta pues los
desarrollos en la tecnología de la computación han hecho posible un sinfin de nuevas aplicaciones, en robótica, visión por ordenador, etc.
El control del caos teoría matemática que se ocupa de los sistemas que presentan un comportamiento impredecible y aparentemente aleatorio aunque sus componentes estén regidos por leyes estrictamente deterministas es un tema de gran actualidad. Los puntos de vista son a veces duales o incluso contrapuestos. La naturaleza caótica de un sistema puede ser un serio obstáculo para su control pero también puede convertirse en un aliado.Por ejemplo, las impresionantes piruetas a las que estamos acostumbrados en las trayectorias de aviones de combate, están basadas en el control a lo largo de trayectorias inestables. Es sin duda sumamente difícil controlar un vehículo de este tipo. Pero las posibilidades que se le presentan a un piloto experto son muy diversas e insospechadas. Precisamente en el campo de la aeronáutica, el control de la turbulencia juega un papel fundamental.
CONTROLABILIDAD VERSUS OPTIMIZACIÓN
(un modelo teórico matemático)
De manera general, podría decirse que el objetivo central de la Teoría del Control es proporcionarestrategias para conducir el proceso que nos ocupe a un objetivo deseado y/o prescrito. Tareas tales como la colocación de un satélite en la órbita adecuada, la reducción del ruido en los vehículos detransporte o la estabilización de estructuras, son problemas propios de la Teoría del Control.
Tanto si adoptamos un punto de vista frecuencial como si optamos por modelizar el fenómeno en cuestión a través de ecuaciones diferenciales, la cuestión acaba siendo por tanto conducir el estado, la variable que nos interesa, al objetivo prefijado mediante la elección de un mecanismo de control adecuado.
Existen sin embargo dos matices que pueden diferenciar en la práctica de un modo significativo los problemas que habremos de afrontar. En los problemas de controlabilidad nos interesa descifrar si el objetivo prescrito puede efectivamente alcanzarse de manera exacta y, si esta cuestión admite una respuesta afirmativa, cual es el tiempo mínimo en el que esto es posible, cual es el control menos costoso, etc.
Cuando abordamos el problema desde el punto de vista de la Optimización o Control Optimo la cuestión se plantea desde otra perspectiva: conindependencia de que el problema de la controlabilidad admita una respuesta afirmativa o negativa, buscamos un buen control, que nos aproxime lo más posible al objetivo prescrito y, éso sí, manteniendo el control dentro de los márgenes de costo admisibles.
Se trata pues de un planteamiento aparentemente más modesto puesto que se renuncia a la "búsqueda de la perfección". Pero se trata de un punto de vista sumamente realista. En la práctica, este segundo planteamiento puede proporcionar resultados muy satisfactorios y ésto mediante técnicas matemáticas menos sofisticadas.
Pongamos un ejemplo sobre el que cualquier persona familiarizada con la resolución de sistemas lineales debería poder reflexionar.
En este ejemplo el estado es simplemente un vector x = (x1, x2, · · · , xn) de IRn y éste está gobernado por la ecuación de estado
[3.1] Ax = b
Donde A es una matriz cuadrada n × n. Para simplificar el problema supongamos que A es no singular o incluso simétrica, definida positiva, etc. El vector b que aparece en el Segundo miembro de la ecuación es el control del que disponemos. La ecuaci´on (3.1) es pues la ecuación de estado que describe el modo en que el control b actúa sobre el estado x. Obviamente, como
el sistema en cuestión es inversible, tenemos x = A−1b, pero no es este el punto de vista que nos interesa pues, en la práctica, la ecuación de estado no es f´acil de resolver y/o invertir.
Nos imponemos entonces como objetivo que la primera componente del estado x1 coincida con un valor prescrito x"1 . Es decir, imponemos la condición adicional
[3.2] x1 = x1*
El problema de control se reduce entonces a buscar b є IRn de modo que la solución de (3.1) satisfaga (3.2). Esto es evidentemente posible. Basta por ejemplo imponer que x = (x*1 , 0, · · · , 0) y tomar como b el vector resultante de la operación Ax. Pero este procedimiento, basado en el diseño directo del estado que realice el objetivo deseado sin necesidad de buscar previamente el control, en la práctica, es frecuentemente irrealizable. En efecto, en los problemas reales, hemos de elegir primero el control y entonces el estado viene dado como solución de la ecuación de estado o, si se quiere, como la respuesta del sistema al control introducido.
El problema de control propuesto es por tanto trivial. Disponemos de tantos controles (las n componentes de b) como de componentes del estado a controlar o incluso de más pues, en este caso, sólo pretendíamos controlar la primera componente x1.
¿Pero qué ocurre cuando vamos disminuyendo el margen de maniobra del control? ¿Qué ocurre por ejemplo si b1, · · · , bn−1 están fijos y sólo disponemos del parámetro bn para controlar el sistema?
Desde un punto de vista matemático la cuestión se formula del modo siguiente. En esta occasion
[3.3] Ax = c + b’
Donde c ε IRn es un vector fijo dado y b’ un vector columna de componentes (0, . . . , 0, bn), i.e. !b = bne, donde e es el vector unitario (0, . . . , 1). El problema de la controlabilidad consiste entonces en estudiar si existe una elección adecuada de bn que garantice que la solución x de (3.3) satisface (3.2)
La cuestión es ahora mucho menos obvia, pero en este caso tan simple no es difícil resolverla.
La solución x de (3.3) se puede descomponer de la siguiente forma
[3.4] x = y + z
donde
[3.5] y = A−1c
y z satisface
[3.6] Az = bne; i. e. z = bnz", con z" = A−1e.
Si adoptamos el punto de vista de la optimización o del control óptimo estas dificultades desaparecen. Supongamos por ejemplo que el valor k > 0 es una cota razonable del control bn que en la práctica podemos implementar. En este caso la mejor respuesta posible al problema de control se obtendría minimizando el funcional cuadrático.
[3.7] J(bn) =| x1 − x"1 |2
en el intervalo cerrado y acotado
[3.8] Ik = [−k, k].
Como J depende continuamente de bn, se deduce inmediatamente la existencia de un control óptimo bkn ε Ik que minimiza la distancia entre la primera componente de la solución x1 y el objetivo x1*.
Vemos por tanto que el problema de control óptimo se resuelve de manera mucho más simple.
Este punto de vista es sumamente natural y acorde al sentido común. Ya L. Euler decía:
"El universo es de lo más perfecto y está diseñado por el creador más sabio. Nada ocurriría sin que destaque, de alguna manera, la presencia de unaregla máxima o mínima."
Pero analicemos con un poco más de detalle las relaciones que se presentan en estos dos planteamientos. Se pueden hacer las siguientes observaciones:
- Si la propiedad de controlabilidad se cumple, para k suficientemente grande, la solución al problema de control óptimo producirá la solución exacta buscada para el problema de controlabilidad.
- Cuando el objetivo x1* no es alcanzable, el problema de optimización nos proporciona, de todas maneras, la mejor solución posible.
- La resolución del problema de optimización y el análisis de la evolución del mínimo del funcional J en el intervalo Ik a medida que k crece puede ser de hecho un test para la propiedad de la controlabilidad. Cuando este mínimo se estabiliza en torno a una constante positiva a medida que k aumenta podemos sospechar, de manera
